Ensembles finis Exemples

$x^{4} + 9 x^{2} + 20 = 0$

Étape 1

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} + 9 u + 20 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 2

Factorisez $u^{2} + 9 u + 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $20$ et dont la somme est $9$ .

$4, 5$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u + 4) (u + 5) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u + 4 = 0$

$u + 5 = 0$

Étape 4

Définissez $u + 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.1

Définissez $u + 4$ égal à $0$ .

$u + 4 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 4$

Étape 5

Définissez $u + 5$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.1

Définissez $u + 5$ égal à $0$ .

$u + 5 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 5$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u + 4) (u + 5) = 0$ vraie.

$u = - 4, - 5$

Étape 7

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = - 4$

${(x^{2})}^{1} = - 5$

Étape 8

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = - 4$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Étape 9.2

Simplifiez $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Étape 9.2.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Étape 9.2.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Étape 9.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Étape 9.2.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Étape 9.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 2$

Étape 9.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Étape 9.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 9.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 i$

Étape 9.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 i$

Étape 9.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 i, - 2 i$

Étape 10

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 5$

Étape 11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = - 5$

Étape 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

Étape 11.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Étape 11.3.1

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Étape 11.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (5)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Étape 11.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{5}$

Étape 11.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{5}$

Étape 11.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{5}$

Étape 11.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Étape 12

La solution à $x^{4} + 9 x^{2} + 20 = 0$ est $x = 2 i, - 2 i, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$ .

$x = 2 i, - 2 i, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$